Теория групп 1 - Определение группы — Transcript

Full transcript

1. 0:00[музыка]
2. 0:11сложно переоценить значение теории групп
3. 0:14для современных естественных наук
4. 0:16приведем лишь один пример из физики
5. 0:18оказывается каждому типу
6. 0:20фундаментального взаимодействия
7. 0:22соответствует своя группа
8. 0:24электромагнитным взаимодействием
9. 0:25соответствует групп с названием ю1
10. 0:29слабым взаимодействием ответственным за
11. 0:32ядерные распада
12. 0:33группа с.ю. 2
13. 0:38сильным взаимодействием удерживающим
14. 0:40квартир протонов и нейтронов
15. 0:42соответствует с you try
16. 0:46удивительно на свойства фундаментальных
17. 0:48частиц и их взаимодействия оказывается
18. 0:50можно вывести из свойств этих
19. 0:52абстрактных математических group
20. 0:58исторически теорию группы
21. 1:00голов 19 веке как написано в википедии
22. 1:04за свои короткие 20 лет жизни
23. 1:06из которых лишь последние четыре года он
24. 1:08увлекался математикой голова успел
25. 1:11сделать открытие
26. 1:12ставящие его на один уровень с
27. 1:14величайшими математиками в истории до
28. 1:17сложно себе представить как бы выглядел
29. 1:19современный математик если бы голу они
30. 1:21убили на дуэли в 20-летнем возрасте все
31. 1:24что сейчас называется абстрактная
32. 1:26алгебра выросла xii его идеи
33. 1:29и так голова пришел к теории групп из
34. 1:32довольно приземлённый проблемы
35. 1:33разрешимости в радикалах уравнений тепла
36. 1:36а x квадрат плюс bx плюс c равно нулю
37. 1:38только для произвольных степеней то есть
38. 1:42можно ли представить решение в виде
39. 1:44формулы из коэффициент в этого уравнения
40. 1:46тип школьной формулу дискриминанта для
41. 1:48квадратного уравнения
42. 1:50в общем не будем вдаваться в
43. 1:52математические детали важно то что
44. 1:54проблема оказалась связан с симметриями
45. 1:56корней этого уравнения двое нашел
46. 1:59математические место писания симметрии
47. 2:01известны сейчас как теория групп
48. 2:08определение группы про
49. 2:10понять на 7 3 простейших геометрических
50. 2:11объектов возьмем например прямоугольник
51. 2:15если его повернуть на 180 градусов то
52. 2:18получим точно такой же прямоугольник
53. 2:20то есть прямоугольник симметрично
54. 2:23относительно операции поворота на 180
55. 2:25градусов
56. 2:26также если прямоугольник повернуть на 0
57. 2:29град то он тоже останется тем же
58. 2:32говоря языком теории групп мы имеем
59. 2:35операцию в нашем случае поворот и два
60. 2:37элемента группа
61. 2:38поворот на ноль градусов и поворот на
62. 2:41180 градусов назовем эти элементы р0 ear
63. 2:44180
64. 2:51элементы группа можно комбинировать
65. 2:53например выражение ir 180 умножить на r
66. 2:560 означает что прямоугольник
67. 2:58поворачивается на ноль градусов а потом
68. 3:00на 180 градусов
69. 3:02можно все возможные произведения
70. 3:05записать в таблицу умножения называемую
71. 3:07также таблицы келли
72. 3:12вернуть на 0
73. 3:13градусов а потом и
74. 3:141 на 0 будет 0 градус повернуть на 0 а
75. 3:18потом на 180 равно повороту на 180
76. 3:22вернуть на 180 а потом на 0 будет также
77. 3:25180 и наконец если 2 1 повернуться на
78. 3:28108 загораться то получим поворот на 360
79. 3:31градусов или что то же самое что поворот
80. 3:34на ноль градусов
81. 3:37о таком
82. 3:38том примере можно продемонстрировать
83. 3:39абстрактное определение группы как
84. 3:41математического объекта
85. 3:43группой называется объект
86. 3:45удовлетворяющий следующим свойством
87. 3:48первое определено операция группа нашем
88. 3:51случае операция является поворот
89. 3:54второе наличие единичного элемента то
90. 3:57есть элемент который ничего не делает
91. 3:59будем обозначать его буквой и нашем
92. 4:02случае это поворот на ноль градусов
93. 4:073 замкнутость то есть все
94. 4:10произведения элемент в группы не должны
95. 4:13давать в результате элемент изначально
96. 4:15не входящий в группу
97. 4:17dim из нашей таблицы умножения это
98. 4:19условие также выполняется любая
99. 4:21комбинация поворотов на ноль градусов и
100. 4:23180 градусов приводит к фигуре
101. 4:25повернутый либо на ноль и либо на 180
102. 4:28градусов и никак иначе
103. 4:32четвертое наличии
104. 4:34снова элемента он по аналогии с
105. 4:36матрицами обозначается степенью -1
106. 4:39обратным элементом называется элемент
107. 4:41отменяющий операцию данного элемента
108. 4:43группы или если алгебраически то
109. 4:46умножение элементы на обратный дает
110. 4:48единичный элемент для каждого элемента
111. 4:50группы должен существовать обратный
112. 4:52элемент который также входит в эту
113. 4:54группу то есть является элементом
114. 4:57обратным к единичному элементу является
115. 4:59он же сам обратным к повороту на 180
116. 5:02градусов также является поворот на 180
117. 5:04градусов
118. 5:05поскольку сон получится 360 град и
119. 5:08прямоугольник вернётся в исходное не
120. 5:10повёрнута и состояния пятое свойство
121. 5:14ассоциативности без разницы как
122. 5:16расставить скобки в произведения
123. 5:29все если для объекту удовлетворяют
124. 5:32свойства то он является группой группа
125. 5:35обычно имеют названия рассмотренной
126. 5:38группы называется c2
127. 5:42еще один пример возьмем равносторонний
128. 5:45треугольник
129. 5:46операции групп также будет поворот
130. 5:49теперь у нас имеется три элемента группы
131. 5:52поворот на ноль градусов на 120 город и
132. 5:55на 240 градусов
133. 5:57составим таблицу умножения для группы
134. 6:03два по
135. 6:05дают поворот на 240 градусов а 2
136. 6:08поворота на 240 эквивалентно повороту на
137. 6:11120 градусов
138. 6:13то есть условие замкнутости соблюдается
139. 6:15все возможные перемножения дают те же
140. 6:18самые три элементы группы можно так
141. 6:23что для каждого элемента существует
142. 6:24обратный и он также находится в группе
143. 6:28для элемента р120 обратно будет р240
144. 6:31поскольку сумму даст 360 градусов что то
145. 6:34же самое что и на и
146. 6:37для элемента р240 обратно будет р120
147. 6:42данная группа называется за 3
148. 6:49[музыка]