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07 Función densidad espectral y teorema de Rayleigh — Transcript

by Ezequiel I. Espinosa R. · 3,744 words · 551 segments · language en · Watch on YouTube

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0:00hola en este vídeo vamos a ver un par de
0:03conceptos nuevos que es función de
0:05densidad d
0:06especial y el teorema de la ley que es
0:10análogo al teorema de potencia de
0:12parcial lo que es pan como señales de
0:15energía el depor se va la seña de
0:17potencias de las leyes para señales de
0:19energía empecemos con lo que es el
0:22concepto de función de densidad
0:25espectral
0:27hasta este momento las señales ya
0:29sabemos que podemos analizarlas de dos
0:31maneras diferentes o más bien en dos
0:34dominios diferentes en el dominio del
0:36tiempo que es como realmente hasta
0:38ahorita creo que todos hemos estado
0:40acostumbrados a trabajarlas en el
0:42dominio del tiempo y que podemos verlos
0:43en los silos propios pero también pueden
0:45ser analizadas en el dominio de la
0:48frecuencia y nos va a dar las diversas
0:51componentes que forman dicha señal en el
0:54dominio del tiempo si yo quiero conocer
0:57una señal a partir de una señal que
1:00tengo en el tiempo y quiero saber cómo
1:02es su distribución en frecuencia lo que
1:05hago es aplicar la transformada de
1:07fourier
1:09y ya me da su cambio su dominio la
1:12transformó del dominio del tiempo a un
1:14dominio en este caso de una frecuencia
1:16angular omega 2 pi efe dada por la
1:20expresión que tengo yo aquí ok si quiero
1:23yo sí tengo una señal en el dominio de
1:26omega de tráfico irregular y quiero
1:28saber cómo está en el función con
1:31respecto a en el dominio del tiempo se
1:33aplicó la transformada inversa de
1:35fourier y ya me la da en función del
1:37tiempo mediante esta expresión que yo
1:39tengo aquí ok
1:41nada nuevo algo que ya hemos visto ok
1:44esta ecuación la ecuación 2 me
1:47representa la función f en el dominio
1:49del tiempo como una suma continua de
1:52funciones exponenciales cuyas
1:54frecuencias se encuentran en el
1:56intervalo de menos infinito a más
1:58infinito la amplitud relativa de los
2:02componentes en cualquier frecuencia
2:03omega es proporcional a efe de omega es
2:07decir si por ejemplo la señal
2:09efe dt fueron a señal de voltaje puede
2:12ser de corriente potencia que son las
2:14dejamos en circuitos en electrónica
2:17entonces si esta señal yo la transforma
2:22a su dominio o mega que lo que tengo
2:25aquí las unidades de dicha señal van a
2:28ser si estaba señal de voltaje va a ser
2:30ese voltaje en función de bueno entre el
2:34tiempo que es aquí abajo segundos o uno
2:37entre segundos que la esté unidad del
2:40xerez
2:42se puede considerar entonces a efe de
2:44omega como un espectro de densidad
2:46recordemos que es la densidad de físicas
2:49a 2 por ejemplo el lápiz la densidad de
2:51este lápiz es la masa que tenga este
2:53lápiz entre el volumen que me ocupa algo
2:56más en los campos eléctricos la densidad
2:59de carga este volumétrica es cuánta
3:02carga está contenida dentro de una
3:03unidad de volumen esos son los conceptos
3:06más o menos de densidad con los que ya
3:08estamos familiarizados entonces aquí
3:10tengo un nuevo concepto de densidad una
3:12unidad que a veces
3:13bolt corriente por lo regular siempre es
3:15potencia lo que más se maneja potencia
3:17watts porque si voy a llamar la densidad
3:20de potencia especial aquí es tanto estoy
3:23hablando de manera general entonces
3:24efe de omega esta función transformada
3:27de fourier de ft la puedo considerar
3:30como un espectro de densidad por la
3:31manera que están dadas sus unidades o en
3:34forma más general se llama función de
3:35densidad espectral de f vt ok
3:39hay que tener algo bien presente es el
3:42área bajo la curva efe no mega estás por
3:45ejemplo en esta señal
3:47un pulso como el que tengo aquí de
3:49duración finita de menoscabo medios
3:51tratados medios y cuya transformada de
3:55fourier ya hemos hecho en ejercicios es
3:56ésta que tengo aquí una función seno de
3:59x enrico 0 / x pero el seno de expresión
4:02entre x ok entonces el área bajo la
4:05curva de esta señal el área que tengo
4:08aquí es la que contribuye a la
4:11representación de ft el área que tengo
4:13aquí es el área la que me va a ayudar a
4:15representar esta señal en función del
4:17tiempo el área es la que lo hace cada
4:21punto indica solamente el punto relativo
4:23de cada componente de frecuencia por
4:25ejemplo en este punto tengo una secuela
4:28a esta frecuencia tal tengo una cierta
4:30amplitud y lo único que me dice es como
4:32contribuye esa frecuencia a el peso
4:37relativo que va a tener mi señal
4:39efe efe pero su área repito en la que
4:41contribuye a la representación de
4:43deferente la contribución de una banda
4:46de frecuencias dada la representación de
4:49ft se puede hallar integrando x
4:51para determinada área es decir si yo
4:54quiero saber obviamente si yo quiero
4:56saber toda la contribución pues hago la
4:58integral o la sumatoria que en este caso
5:01al ser continuación el volumen integral
5:03de menos infinito a más infinito pero si
5:06yo nunca mente me interesa saber en un
5:07intervalo de frecuencia son un intervalo
5:09no sé desde aquí hasta este punto nada
5:12más me interesa saber ese punto como
5:14contribuyen esas frecuencias a mi señal
5:17por único que hago la integral de ese a
5:19ese otro punto esto es a lo que se
5:21refiere este enunciado que yo tengo aquí
5:23en una señal periódica cambia un poquito
5:27porque en una señal periódica todos sus
5:31componentes de amplitud en frecuencia
5:33son discretas sabemos este series de
5:36fourier que nos ayuda a analizar las
5:39series periódicas y que nos dan impulsos
5:42en cada una de estas hay una
5:44contribución diferente y hay una
5:48contribución definida y azulados ninguna
5:51es decir en un punto de frecuencia por
5:54ejemplo en este punto aquí si me da la
5:56contribución pero ya que a sus lados no
5:58tengo hasta que encuentre la otra
6:00componente y así sucesivamente esta es
6:02una señal un mismo pulso pero es un
6:05pulso periódico
6:07de duración infinita aunque su duración
6:10es muchísimo más grande que el periodo
6:12que tenga esta silla y entonces me va a
6:14dar una señal de este tipo donde tengo
6:17las contribuciones de cada una de las
6:19componentes que me forman esta señal
6:23periódica que yo tengo aquí ok para
6:26representar los componentes de amplitud
6:28de una señal periódica en una gráfica de
6:31densidad espectral lo que vimos aquí es
6:34una gráfica de densidad espectral
6:35también podemos llamarla sin
6:38se requiere un área igual a las
6:41respectivas componentes de amplitud
6:43aunque ocupando un ancho de banda de
6:45frecuencia cero es decir 'yo a cada
6:48componente tengo que que es un impulso
6:50tengo que darles simplemente una
6:52amplitud más o menos proporcional para
6:54representar la a el área que debería
6:57tener para que estar conformando me mi
7:00señal si esta componente contribuye
7:04mucho más tiene que ser más grandes y
7:05tengo componentes contribuyen mucho
7:07menos tiene que ser más pequeño eso es
7:09algo que se está refiriendo el enunciado
7:11que yo tengo aquí que cada una de las
7:13componentes de las amplitudes de estos
7:15impulsos debe ser proporcional a cómo
7:18está contribuyendo a esta señal que yo
7:22tengo aquí ok entonces de aquí podemos
7:25obtener los siguientes dos importantes
7:28enunciados una señal de energía finita
7:31se puede describir por medio de una
7:33función de densidad espectral continua
7:35como la que tengo aquí esto es una
7:38función de la ciudad espectral continua
7:40una señal de energía recordemos es un
7:43pulso
7:44en adoración finita pero me va a dar
7:45algo como lo que tengo yo aquí
7:48ok esta función se halla tomando la
7:52transformada de fourier de la señal a
7:54esta señal de como es transformada de
7:56fourier y me da su función de densidad
7:59espectral una señal periódica de
8:02potencia finita de potencia media finita
8:04puede ser descrita por tanto por un
8:07conjunto de líneas en una gráfica
8:09espectral como por un conjunto de
8:11funciones impulso en una gráfica de
8:14densidad espectral como la que yo tengo
8:16aquí es una gráfica de funciones el
8:20impulso en donde cada impulso la actitud
8:23de cada impulso me dice cómo está
8:25contribuyendo a la señal que yo tengo
8:28aquí ok entonces esto vamos a ver el
8:32análogo al teorema de pérceval
8:35pero para señales de energía que se
8:37conoce también como toda regla de
8:39realiza algunos también le llaman
8:40teorema de parcial para energía
8:43el teorema de energía de la ley es como
8:46les decía es análogo al teorema de
8:48potencia de pérceval el teorema
8:51establece que la energía
8:53de una señal x detecta las señales de
8:56tener en función del tiempo está
8:58relacionada al espectro x dt por esta
9:01expresión que yo tengo aquí es decir así
9:03como en el teorema de parce valió podría
9:05sacar la potencia de una señal
9:09si esta señal estaba en tiempo o en el
9:11dominio de la frecuencia podías yo
9:13saberlo simplemente realizando unas
9:16integrales aquí también puedo yo tener
9:18mi señor el dominio del tiempo o me
9:20señale el dominio de frecuencia ambas me
9:22van a dar la por la energía de dicha
9:25señal solamente con una igual voy
9:27ahorita vamos a ver me va a dar un
9:29poquito más de información o puedo
9:31obtener una información diferente que la
9:32otra no me daré esta expresión ya la
9:35habíamos visto que esto hicimos unos
9:37ejercicios sobre esta y nos falta esta
9:40que tengo yo aquí
9:41esta función está en el dominio del
9:42tiempo x dt y éstas están en función del
9:45dominio de la frecuencia pero ambas le
9:48van a dar la energía de la señal como yo
9:51sé
9:52cuando dio el paso del dominio del
9:55tiempo a la frecuencia lo más seguro es
9:56que me dé una integral un valor complejo
10:00para obtener esto en el bueno y después
10:03en el dominio amiga pues podría ser lo
10:04mismo denominó de la frecuencia obtener
10:06el 4 el valor absoluto al cuadrado es lo
10:08mismo que multiplicar esa animación por
10:10su conjugado que es lo mismo en dos
10:12omega bueno aquí visto en función de
10:15omega ok entonces la energía puede verse
10:18aquí esta señal en función del tiempo
10:21dada por esta expresión la integral de
10:23menos infinito infinito del cual
10:25absoluto de esa función al cuadrado es
10:27igual a 1 / 2 pib desde menos infinita
10:30infinito de la función en el dominio de
10:33omega elevado al cuadrado bueno valor
10:35absoluto elevado al cuadrado es igual de
10:38lo mismo si de sombra
10:42efe siempre recordando que omega es
10:44igual a 2 para ver quién tiene que
10:46añadir ese factor
10:47entonces integrando el cuadrado de la
10:50amplitud del espectro sobre toda la
10:52frecuencia se obtiene la energía total
10:56siguió íntegro la transformada de
11:00fourier al cuadrado voy a obtener la
11:02energía total que yo necesito ok
11:05entonces ya sea este x de efe el
11:09conservador absoluto de x es acordado o
11:11mega conrado de f de omega cuadrado nos
11:15da la distribución de energía en el
11:17dominio de la frecuencia y por lo tanto
11:19puede ser denominada como una densidad
11:21espectral de energía
11:25algo que me parece no mencioné en el
11:29vídeo antes cuando vimos señales de
11:30energía sabemos o lesiones mencioné que
11:34las señales de energía por lo regular
11:35están asociadas a pulsos de duración
11:39finita si un pulso tiene una duración
11:42finita puedo yo considerarla común hacia
11:45la energía si yo tengo una señal de
11:48duración infinita o que se puede su
11:50duración es muy grande comparada con su
11:52periodo entonces tengo una de potencia
11:54sin embargo no todas las señales de
11:57energía tienen duración finita es decir
12:00no necesariamente todas las señales del
12:04día son pulsos o más bien puedo tener
12:07otro tipo de señales de energía que no
12:10necesariamente sean pulsos si la
12:12amplitud de la señal es decir su
12:15amplitud de una ciudad x dt tiende a
12:18cero cuando el tiempo el valor absoluto
12:20del tiempo tiende al infinito
12:22entonces la energía de la señal es
12:24finita y se tiene una señal de energía
12:28es decir señales como esta que tengo
12:30aquí una señal
12:32exponencial va a ser considerada también
12:36una señal energía porque me cumple con
12:38la postulado que tengo yo aquí si la
12:42amplitud tiende a cero conforme el
12:45tiempo tiende a infinito y entonces
12:48tengo yo aquí una señal de energía ok
12:52entonces continuamos con esto que tengo
12:56yo
13:01y si vamos a calcular la energía de una
13:04señal ft iguala a la menos a dt para
13:08todas a mayor igual a cero esta es la ok
13:11por ejemplo que está pasando a través de
13:13una resistencia de 1 no sé en un
13:15circuito eléctrico pongo una tristeza un
13:17hombre yo sabe la energía que está
13:18pasando entonces por tanto en el dominio
13:21del tiempo como en el dominio de la
13:22frecuencia es decir los dos lados del
13:24teorema de rallye solución los dos lados
13:27viene dado por estas expresiones que ya
13:28habíamos esta latitud la energía es
13:30igual a la menos a la integral de menos
13:32infinito a infinito de esta función del
13:35valor absoluto la función del dominio
13:37del tiempo elevado al cuadrado
13:38uno entre dos pide la integral de menos
13:41infinito infinito de la función en el
13:43dominio de omega del valor absoluto de
13:45la función dominio mega elevado al
13:47cuadrado vamos a hacer esta primer y
13:50todo está y hoy te hacemos estar en el
13:53dominio del tiempo inclusión habíamos
13:54hecho ya hemos hecho ejercicios en el
13:56dominio del tiempo muy bien necesito
13:59primero entonces que ft es igual
14:02a la menos a valor absoluto de t
14:05menos infinito a infinito y entonces
14:09necesito yo el valor absoluto elevado al
14:11cuadrado el valor absoluto racial efe dt
14:13elevado al cuadrado es igual a la menos
14:162 abalo absoluto dt de menos infinito a
14:20infinito
14:21si yo gráfico esta función
14:24me da esta función que yo tengo aquí
14:27esta fórmula expresión matemática esta
14:29es su gráfica que tengo yo aquí puedo
14:32ver algo muy claramente aquí
14:34esta es una función para una función
14:37espejo es decir la misma cantidad la
14:40misma ya que tengo yo aquí abajo es la
14:43misma que tengo yo aquí abajo de aquí a
14:45infinito
14:46tengo un área y de aquí infinito tengo
14:47exactamente la misma hago un espejo de
14:49una con respecto a otra esto me lo voy a
14:51usar para tratar de simplificar un poco
14:53la integral entonces ahí está de frente
14:56al cuadrado es igual a dos veces a la
14:59menos 27 de 0 a infinito ya con esto me
15:03quito el árbol absoluto de ahí y la
15:06integral nada más me queda desde cero
15:08hasta infinito por lo tanto la energía
15:11va a ser igual a la integral de bueno la
15:13energía es igual de menos infinito
15:15infinito de las señales
15:17el valor absoluto se señala al cuadrado
15:19de felicia dt pero que puede reducir la
15:21que la integral de cero al infinito dos
15:24veces a la menos 27 diferenciales
15:27resuelvo la integral me queda esto que
15:30tengo yo aquí con los límites ahora
15:32repito deseo infinito aplicó los límites
15:36me queda esto que tengo aquí menos 1
15:38esta señal era la menos 2 a infinito a
15:41la menos dos por cero menos infinito me
15:44queda 0 - bueno x 0 aquí a la 0 me da 1
15:47me queda menos 1 entre las 0 -1 me queda
15:50uno entre a por lo tanto la energía es
15:54igual a 1 emplea la energía se miden
15:58jules pisa la energía de la señal en el
16:02dominio del tiempo vamos a hacerlo ahora
16:05en el dominio de la frecuencia es un
16:07poco más complejo el asunto
16:10primero en el dominio de la frecuencia
16:12puede obtener la energía en el dominio
16:14la frecuencia lo hago mediante esta
16:15expresión que es el lado derecho el lado
16:18izquierdo del tema de la ley lado
16:20derecho lo que vamos a hacer el lado
16:22izquierdo es el que vamos a hacer
16:24ahorita en este momento hasta que tengo
16:25aquí entonces primero pues necesito
16:29calcular la transformada de fourier de
16:32ft entonces como cálculo transformada de
16:35fourier puse esta señal en función de
16:37mega va a ser igual a la transformada de
16:38fourier referente que es igual a la
16:40integral de menos infinita infinito de
16:42ft a la menos j omega dt diferencial de
16:46t ok
16:49entonces calculó la transformada de
16:52fourier me queda esta que tengo aquí
16:553 - 0 infinito a la de al menos 4
16:58mediante diferencial de seguro aquí más
17:02la integral de 10 infinito de ea la
17:05menos a dos de t
17:08al menos cuatro metas diferenciales que
17:11simplemente estoy separando por partes
17:12primero menos infinito a cero lo
17:14infinito a cero la función aplicó leyes
17:17de los exponentes me queda la reduzco un
17:19poquito así de esta manera tengo aquí ok
17:23y entonces ahora sí aplicó la integral
17:26primero resuelvo esta integral luego
17:27resuelvo integral ya con fuego más
17:30activo un factor común primero aquí 1
17:32entre al menos jota omega ayala - aj
17:34mera x te dé menos infinito a 0 me va a
17:38dar algo parecido igual menos 1 a la más
17:41hot omega y a la menos a 4 mb de 0 a
17:44infinito si ésta es esta integral éstas
17:47esta integral resuelvo los límites
17:49voy a tener esto de aquí a uno o más
17:52sustituyó los límites a la menos 1 mega
17:54me queda esto que tengo aquí luego esto
17:57multiplicado por infinito menos 1 x
17:59finito infinito menos texto que tengan
18:02infinitos me va a dar cero esto me va a
18:04dar 10 y estrada 1
18:08voy a tener esto que tengo aquí
18:111 - j omega de 101 entre al menos 4
18:16megas de 0 a 1 ok entonces esto
18:20simplemente lo reduzco a esto que tengo
18:23aquí
18:24hago un poquito de álgebra este por este
18:27luego por este problema esté más este
18:29para reducir la expresión y voy a llegar
18:31a esto que yo tengo aquí 2a a cuadrado
18:34más omega no hay nada más si saltaba a
18:37la revisión después álgebra de
18:39secundaria
18:40esta función me va a quedar en el
18:42dominio de la frecuencia de esta manera
18:44incluso es clásica en un libro de de
18:47fourier entonces ya tengo
18:50efe de omega es igual a 2a a cuadrada
18:54más omega y yo quiero saber el valor
18:56absoluto de f de omega elevado al
19:00cuadrado entonces tengo que elevar todas
19:01las componentes al cuadrado que tengo
19:03aquí y voy a tener esto que yo tengo
19:05aquí no tengo números complejos
19:08se me fueron hace ratito nada más me
19:10queda de esta manera entonces sustituyó
19:13esto que tengo aquí en la expresión de
19:16la energía de la señal que tengo aquí
19:20uno entre dos primeros sentimientos
19:22cercanos
19:23tengo aquí es la misma que tengo aquí ya
19:25la sustituyó y sustituyó el valor aquí
19:28resolver esta integral
19:30lleva tiempo quizás es algo compleja
19:34adulterios a algo larga afortunadamente
19:37yo tenía por ahí un libro de tablas de
19:39integrales si se puede resolver de forma
19:42analítica de nada más que les va a
19:43llevar un rato y obtengo esta fórmula
19:45que tengo aquí diferencial de x a 4
19:49además de cuadrada x al cuadrado y me va
19:51a dar todo esto que tengo aquí yo
19:53aplique esa dice las sustituciones
19:55adecuadas si no me quieren ustedes hagan
19:58por los términos que ya conocen de las
20:02funciones básicas tres fórmulas de
20:04integración básicas tienen que salir
20:05porque sale entonces me queda que la
20:08energía es igual a 4 aguardarán 2 pi de
20:12menos infinito infinito diferencial de
20:14omega 4 al que tengo aquí bueno nada más
20:16agua destituciones y me queda esta
20:19integral cuando este es el resultado de
20:20la integral ok
20:21cuando un límite es de menos infinito a
20:24infinito
20:26ok entonces voy a separar los términos 4
20:29a cuadrados pib
20:30este término corresponde al primero
20:32omega 2 aguardada múltiplo que
20:34multiplica a cuadrada más somera
20:36cuadrados infinite infinito más 1 entre
20:39dos a cubo tangente de omega en crear de
20:43menos infinito a infinito
20:46esta laborioso entonces esto ahí se los
20:51dejo de tarea aplica el teorema de
20:53límites capital y todo lo que representó
20:55lo que aprendieron en el cálculo y esto
20:57les va a darse ok aplicando que además
21:00de límites ahí se los dejo de tarea y
21:03nada más no va a quedar este término que
21:05tengo yo aquí entonces queda la energía
21:074a cuadrados pib que multiplica a 12 a
21:11kubica tangente de menos 1 o megan crea
21:13con los límites de menos cinco éxitos a
21:16infinita todavía no sustituyó sustituyó
21:18los límites y me queda bueno nada más
21:20los links de la gente lo infinito menos
21:22tangente menos infinito
21:25aplicó los límites y tangente de
21:27infinito es igual a primeros una tarjeta
21:31menos infinito es igual a bueno estaba
21:33restando menos menos y medios me queda
21:35esta expresión que yo tengo aquí aquí ya
21:37es pura álgebra me queda 4 aguardará 2 p
21:401 / 2 a kubica pib sigo con el álgebra
21:44de 4a cuadrados pípi a 2 a ubicar y me
21:48queda uno entre a exactamente el mismo
21:51resultado que nos había quedado hace
21:53prácticamente parecer 1 entre a jules ok
21:59porque complicarnos tanto la existencia
22:02si el resultado es exactamente el mismo
22:05porque en este dominio en el dominio de
22:08la frecuencia
22:09yo puedo saber las contribuciones y a lo
22:11mejor a mí nada más me interesa saber él
22:13no me interesa saber el interior cuál es
22:15la contribución de menos infinito
22:17infinito no me interesa ver un cierto
22:18intervalo desde lo mejor y esquilo kers
22:21hasta 20 que lo que es cuánto es común
22:23como la energía como contribuye
22:27a ese este a esa señal en ese intervalo
22:30energía pues simplemente hago la
22:32sustitución aquí algo que no podría
22:34hacer aquí porque está en el dominio del
22:36tiempo y no puedo conocerla obviamente
22:38en el dominio de el tiempo y es muy
22:41importante cómo vamos a ir viendo hacer
22:44nuestros análisis en frecuencia y ver
22:46cómo
22:48como contribuye en cierto intervalo de
22:51frecuencia en cierto ancho de banda es
22:54una señal sí porque si a lo mejor sus
22:58niveles son muy altos puede interferir
23:00con otra señal que yo tengo aquí y aquí
23:02puedo saber si es cierto intervalo de
23:05interés la energía y la frecuencia la
23:07energía que me está proporcionando dicho
23:10intervalo simplemente a sustituir estos
23:12intervalos de esa manera ok
23:15bueno por nuestra parte es todo nos
23:16vemos en el siguiente vídeo

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This page contains the full transcript of 07 Función densidad espectral y teorema de Rayleigh by Ezequiel I. Espinosa R., generated from the public captions YouTube serves with the video. The transcript has 3,744 words across 551 segments, with the original timestamps preserved so you can click any line to jump to that moment in the embedded player.

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