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03 Series de Fourier — Transcript

by Ezequiel I. Espinosa R. · 3,465 words · 486 segments · language en · Watch on YouTube

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0:00hola en este vídeo
0:03vamos a ver continuar con el tema de
0:05análisis de señales vamos a analizar las
0:10señales de manera periódica mediante
0:11series de furia señales periódicas
0:14mediante el uso de las series de fire no
0:17va a ser una clase de furia
0:18vamos a aplicar series de furia al
0:20análisis de señales para esto ya debemos
0:23de saber fluir bueno
0:24nada más un muy breve pero muy breve el
0:27paso
0:29es lo que son
0:31las series de furia la serie de fourier
0:34me dice cualquier función fx definida en
0:39un intervalo de menos pi hasta masp y
0:42puede ser expandida en una serie de
0:46funciones trigonométricas algunos
0:48autores pues cambian de lista intervalo
0:50mejor puede ser desde menos de medios
0:52hasta más de medios de cero arte bueno
0:54ahorita vamos a verlo desde menos pib
0:56hasta pi igual y lo encuentra en otro
0:58libro con un intervalo diferente pero en
1:00general es lo mismo ok entonces
1:05la función lo que dice esto es que se
1:09puede expandir en serie es decir en una
1:11suma de diferentes componentes una
1:14componente constante más una componente
1:17a uno coseno de x más b2 b1 coste no de
1:21x más a dos cosas de 2x más voz de 20 de
1:252x más y así sucesivamente hasta
1:28términos a eneko seno de mx más bien
1:30echo seno de x hasta el infinito esta es
1:33una expansión en series de fourier que
1:37puede expresarse de manera compacta
1:39de esta manera simplemente fx es igual
1:43al término constante a 0 entre 2 más la
1:46sumatoria desde uno hasta infinito
1:50dehaene coseno de mx más bnc no de ley
1:54es la función es una función cualquiera
1:57mientras esté definida desde menos
2:00pick-up y puede ser expresada en serie
2:03de fourier como la que tenemos aquí
2:07ok entonces bueno para que exista la
2:10serie de fourier se puede probar que
2:12siempre y cuando f x tenga un solo
2:17número finito de discontinuidades
2:21es decir puede ser las incluso la
2:22función discontinua productiva un número
2:24finito y que un número tenga también un
2:27número finito de máximos y mínimos en el
2:29intervalo de menos pi y si está integral
2:33de menos pijamas pide el valor absoluto
2:35de fx diferencial de x es finita que
2:38este valor me dio un valor finito
2:40entonces una expansión de series de
2:44fourier siempre es posible
2:47otra manera para esa base de fourier si
2:49se introduce un ángulo de fase la serie
2:52fx la serie de la función puede
2:54expresarse como fx el término constante
2:57un término constante un término a uno
3:00coseno de x más de uno más a dos el
3:05argumento de 2x más fi 2 y así
3:08sucesivamente a eneko seno de nx
3:11tras expresar en funciones de términos a
3:14n
3:15que estos a n son la magnitud como la
3:17magnitud como obtengo observadores a n
3:20simplemente es la raíz del terminaba en
3:23al cuadrado más la suma de vn al
3:25cuadrado y el ángulo es igual a la
3:27tangente de menos bn en crea en mental
3:30para esto es la magnitud y está la fácil
3:33lo mismo que para un número complejo es
3:36más común pero muchísimo más común
3:38expresar la serie de furia de esta
3:40manera de expresar la de esta otra forma
3:43pero se puede no ésta esté casado que
3:48únicamente puede hacer de esta manera
3:49puede expresarse también en función de
3:51cosenos como los que tenemos más bien en
3:53función de ángulos y magnitudes como los
3:55que tenemos ahí ok pero entonces vean
3:58que aquí tenemos una serie de términos a
4:000 a n b n como obtener esos términos a 0
4:05b n iv en web
4:08no vamos a meternos mucho en la
4:10matemática de cómo se extrajo vamos
4:12vamos a exponer la fórmula para obtener
4:14a 0 a 0 es igual a 1 entre pib
4:18la integral de pick up y de la función
4:21fx para hacer para n es uno en pib
4:26por la integral de menos pin-up y de la
4:29función
4:30fx coseno ndx diferencial x para jaime b
4:35n es 1 en fin
4:37de la integral de menos pi pi de fx en
4:41nx diferencial de x
4:44y una función está definida en un
4:46intervalo de 0 a 2
4:48simplemente se cambia el intervalo en
4:50lugar de ser m
4:51ahora va a ser desde 0 a 2 pib tanto
4:55para n b n lo mismo para a 0 ok es le
4:59repito simple cuestión de nomenclatura
5:01del autor que vean con el libro puede
5:04ser de 0 a 2 pide menos se va de cero a
5:07t que sería el periodo de menos de
5:09medios ante medios
5:11cada autor le va a dar un diferente
5:12periodo pero en general la forma para
5:14obtenerlas los términos de fourier son
5:17iguales que estos vamos a hacer un
5:19ejemplo rápido de ejemplo encontrar la
5:24expansión de fourier de la función
5:26mostrada en la figura cuál es la función
5:28esta del valor desde menos pick-up y en
5:32la función vale 1 y desde cero no perdón
5:35desde menos pi a 0 vale 1 y desde cero
5:38api vale menos 1 dada por lo que tenemos
5:41aquí en esta función está expresada de
5:43esta manera de lo que les acabo de decir
5:45dado de manera matemática entonces vamos
5:48a obtener los términos a 0 a n
5:50y viene a cero primero obtención de
5:52acero es acero uno en fin la integral de
5:56menos pick up y de la función fx la
5:59función fx es la que tengo yo aquí ok
6:03entonces a 01 en pin sustituyó la
6:08función que está definida desde menos a
6:100 como uno y para el intervalo de 0 a
6:15pie está definida como menos 1
6:16simplemente estoy sustituyendo nada más
6:18el valor de la función en la forma de
6:22para obtener a 0 ok entonces aplicó la
6:26integral simplemente y me da este
6:28resultado que yo tengo aquí 1 mbit x con
6:31los intervalos desde menos pi a 0 y
6:33menos uno en pi de x desde cero hasta
6:37pib aplicó los límites
6:39voy a tener esto que tengo aquí 1 impi x
6:420
6:44bueno menos por menos da más y menos 10
6:49me voy a quedar con el resultado va a
6:52ser entre pitt menos 7 p esto es una
6:55pero eso no me va a dar 0 es decir el
6:58término a 0 es igual a cero en esto
7:02vamos a obtener los siguientes términos
7:04el término n obtención de anne la
7:09expresión para obtener n estã n igual a
7:121 del pib de la inter por la integral de
7:15menos pin-up y de la función
7:18fx multiplicada por un coseno en x
7:21diferencial de x hagamos el integral
7:23bueno primero sustituyamos a n
7:26es igual de multiplicar 1 por la
7:29integral de menos 0 a piqué es lo que
7:31está indefinida la función de fx vale 1
7:34de menos 0 x coseno de nx diferencial de
7:38x para el intervalo desde cero
7:41api vale la función menos uno entonces
7:43es menos uno por pio x está integrado en
7:47x
7:48sustituir aplicamos la integral al
7:50siguiente paso resolvemos literales 1 en
7:54el pin en el seno de nx definida desde
7:58-0 desde menos vía 0 -1 en el 'pit seno
8:03de nx de 0
8:05api ok aplicamos los límites me va a
8:08quedar 1 en el pib por el seno de n por
8:110 - 0
8:13dn
8:15por fin -1 nn pib por el seno de lp dlp
8:20bueno yo sé siempre que tenga un valor
8:24bueno primero a kim 0 por en hecho
8:27cualquier número x seno al 0 y el seno
8:30de 0 es cero mientras que en ese número
8:33entero cualquier número pi x
8:37éste se nos llenó de cualquier tipo va a
8:39ser cero entonces va a tener 0 - 0 0 - 0
8:43cualquier igual para aplicar para este
8:45lado y entonces tengo simplemente que as
8:48a n también va a valer cero ok
8:54a 0 y aena han valido 0
8:59obtención de ven ven ven es igual a 1 en
9:04ti por la integral de menos pin-up y por
9:08la de la función f x multiplicada por el
9:11seno de nx diferencial de x vamos a
9:14sustituir el valor de fx
9:17para obtener ven ven es igual a 1 entre
9:20pin la función fx está definida como uno
9:23para intervalo de menos pib a cero y es
9:26entonces uno entre pido integral 10 de
9:30enero x para el intervalo de cero aquí
9:32está definida como menos 1 entonces 1 en
9:34pie por la integral que tenemos aquí la
9:37función fx seno ndx diferencial de x
9:40aplicamos cálculo resolvemos la integral
9:43y nos queda menos 1 entre en el seno de
9:46nx con los límites de menos vía 0 +1
9:50entre n pico seno de nx de 0 a pib lo
9:54que resolvemos los límites resolvemos
9:57los límites y nos queda uno en épicos en
10:00adn por cero menos coseno de menos
10:02np más 1 benedetti que multiplica coseno
10:07dnp menos coseno de n cervo ok aquí hay
10:10dos formas de resolver la banda podría
10:13resolver resolví de dos formas pero
10:17una manera directa y otra manera general
10:20vamos a verlo primero suponiendo que
10:22todas estas cenas que tengo yo aquí sean
10:26pares cuando esto sea para este coseno
10:29de cero es uno bueno de por sí 0 por n
10:33me va a dar 0 y coseno deseos es 1 pero
10:36aquí cuando tenga valores dnp impar de
10:39en impar
10:40voy a tener menos voy a tener
10:431 ok bueno resolviendo todo esto menos 1
10:46y 1
10:47ok lo mismo va a ocurrir para este lado
10:50que yo tengo aquí me voy a tener menos 1
10:52y 1 esto cuando en es impar resuelvo
10:55algebraica mente esto menos quedan menos
10:5712 mp menos dos en 'pop' y me va a
11:00quedar menos 4 np si y sólo si n es
11:04impar que va a pasar para cuando en ese
11:07afán de tener menos uno menos uno más
11:11uno el 3 por 1 - 1 resolviendo aquí voy
11:15a sustituir n pares aquí voy a poner sí
11:17supongo que en spa bueno éste sigue
11:19siendo uno pero aquí estos valores van a
11:21cambiar a menos uno por cada uno pero y
11:24por el signo de aquí es menos no y aquí
11:27tengo uno y éste que es menos uno
11:31también pero este signo es uno para n
11:33pares voy a tener igual a cero es decir
11:36b n va a ser este valor 4 entre enap y
11:40cuando en el ceip art y 0 cuando en ese
11:43par de esas de manera particular podrá
11:45ver la resuelta de manera general que es
11:47lo que hice aquí después que es más a lo
11:49que están acostumbrados 1 entre n pib
11:51por uno menos coseno dnp que tengo
11:54simplemente sustituye a este que directo
11:56este valor cero n por 0 que tengo aquí
12:00simplemente va a dar 1 y éste lo dejó
12:03así de manera general eliminó el signo
12:05bueno no eliminó más bien a como es una
12:07función par pues entonces realmente da
12:10lo mismo que tengo yo ok lo mismo ocurre
12:13aquí coseno
12:15este bueno aquí en nuevo tendencia de
12:17eliminar el signo menos y esto que va a
12:19dar uno que tengo aquí aplicó álgebra
12:22como reacomodo los términos
12:24considerando este signo menos me queda
12:26esto que tengo aquí ahora si aplicó al
12:29ser la nada más sumo y me va a quedar 2
12:30n p x coseno dnp menos 1 entonces por lo
12:35tanto la función de esta función la
12:40puedo expresar simplemente como la
12:42sumatoria que vimos a cero la función de
12:44esas eo entre dos más la sumatoria de 1
12:48x 10 x y así sucesivamente hasta el
12:52infinito expresada de forma en serie
12:54este cfd x a 0 entre 2 término constante
12:58más la sumatoria de términos de senos y
13:01cosenos con los resultados obtenidos
13:03entonces fx es menos 40 de x más seno de
13:083x entre tres más seno de 5x entre 5 más
13:13la verdad y así es obviamente o de
13:15manera particular n de la sumatoria
13:19desde n igual a 1
13:21n igual infinito desde menos cuatro en
13:24el seno de mx
13:25este es el para en es impar es esta es
13:28la forma de expresar esta función esta
13:31función puede ser expresada de esta
13:33manera o de manera general
13:36simplemente fx es la sumatoria desde n
13:38igual a 1 hasta n igual con infinito 2
13:42en el pico seno de np - 1 x multiplicada
13:45por el seno de n por x
13:49bueno ya resolvimos un
13:52otro ejemplo de ejercicio más que nada
13:55tengo una señal dada de esta manera
13:58donde desde menos pib hasta 0 es
14:01definida como menos x y de 0 a pie está
14:05definida como x tal como se muestra aquí
14:08encuentren la expansión de julián ya les
14:10voy a dar la solución la solución es
14:12esta que está aquí ustedes hagan el
14:13proceso matemático fx es igual a pie
14:16entre 2 más
14:18la sumatoria desde n igual a 1 hasta el
14:21igual con el infinito de 2n cuadrada
14:23pico seno en menos uno por consejo de nx
14:27está la solución
14:33expansiones de series de foliar de
14:36funciones periódicas si las funciones
14:38anteriores fueran periódicas cada valor
14:41de la función es repetido después de un
14:44intervalo 2 pib entonces las expansiones
14:47de fourier siguen siendo válidas en el
14:49rango en el cual las funciones son
14:52periódicas es decir los valores que
14:55obtuve es ratito
14:56no importa si nada más la función está
14:58definida desde - pi pi
15:01y el otro vale 0 puedo hacerlo hacer la
15:05periódica y estos mismos valores
15:09por ejemplo este me sigue representando
15:13esta función totalmente periódica aún a
15:15pesar de que nada más yo era el secado
15:16intervalo de menos día pie este el otro
15:19resultado igual que yo obtuve
15:23me sigue representando esta señal aún a
15:25pesar de que una maleza que da pierde
15:27menos pickup y se sigue representando en
15:29panamá función totalmente periódica
15:31mediante series de fort y el yo puedo
15:34expresar una función periódica en
15:37componentes de plan de sus diversas
15:40componentes las funciones periódicas
15:43pueden ser representadas en todo su
15:44rango por una serie de fourier tengan
15:48muy presente lo más seguro es que es
15:49igual y ya lo habían visto
15:53funciones pares e impares si fx es una
15:56función impar
15:57es decir efe - x es igual a menos fx
16:01todos los términos a n desaparecen y la
16:04serie de fourier consiste solamente de
16:06términos seno y fx spark es decir efe -
16:11x es igual fx todos los términos bn
16:14desaparecen y la serie de furia
16:16solamente consiste de términos coseno
16:20todas las funciones
16:22fx podemos ser capaces de representar
16:26las o de expandir las en serie de
16:28fourier
16:30consisten de la suma de una parte par y
16:33una participar es decir vean nuestra
16:36serie de furias nuevamente fx presentada
16:39por un término constante la parte par
16:41que representan los cosenos y la parte
16:43impar que representa a los senos
16:45regresando un poquito al ejemplo que yo
16:48tengo aquí si recuerdan a 0 ya n eran
16:53igual a 0 entonces si esto es igual a 0
16:55quiere decir que mi función era impar
16:58ésta por cierto va a ser una función
17:00imparte esta va a ser una función para
17:02una forma rápida no sé es lo mejor ya la
17:05saben de de la diferencia entre una
17:08función par y par
17:10pongan sobre el eje que imagines un
17:14espejo y si el reflejo que tengo aquí lo
17:18que tengo de este lado es igual entonces
17:20se reflejan de igual manera es una
17:22función para estrella donde espejo y
17:24vería exactamente lo mismo entonces una
17:25función para para las funciones impares
17:29a darme cuenta que el espejo ya sea así
17:31o así y si se refleja esta señal en el
17:34otro cuadrante opuesto ya sea de aquí
17:36acá ahora que acá puedo decir que es una
17:38función este impase bueno es una manera
17:41rápida hasta ahorita siempre me ha
17:44funcionado para las de manera rápida ver
17:46si es paro y paz sin necesidad de
17:48acordarme si ese fx igual a menos fx
17:52vamos a ver estas señales
17:56resolvimos hace ratito esta de aquí la
18:00resolvimos y llegamos a su solución que
18:04era esta que yo tengo aquí son una serie
18:09decir una sumatoria de diferentes
18:11componentes que tengo yo aquí son
18:14diferentes vean es un seno multiplicado
18:19todo esto sería la amplitud de una señal
18:22por el seno y aquí está su argumento nx
18:27y va va a variar obviamente va a variar
18:30tanto la amplitud como el argumento
18:33conforme vaya variando el valor del
18:35desde 123 hasta el infinito
18:39ok aquí tengo las diferentes componentes
18:42de esta señal
18:45aquí nada más aquí 10 bueno no sé si se
18:47alcanzan a ver las 10 creo que no se ven
18:49algunas cuantas las diez primeras
18:52componentes es decir a esta función nada
18:55más le saqué las primeras cuando en es
18:57igual a 1 cuando no es igual a 2 a 3 a 4
18:595 6 hasta 10 obtuvo en las primeras 10
19:02millones estas funciones que tengo aquí
19:05en estas funciones seno que están aquí
19:07las 10 ok
19:09estas 10
19:11si yo lo asumo si yo sumo las 10 me va a
19:15dar una silla como ésta es decir si
19:19recuerdan muy parecida a ésta que ya
19:23calculamos que está que es la fuerte
19:24fueran tuvimos el ejemplo son las 10
19:27señales las 10 componentes las sumo y me
19:31da una señal parecida está vean que no
19:32[Música]
19:34no está también definida aquí en estas
19:37partes pero pueden distinguirse más o
19:40menos qué es un pulso cuadrado ok si yo
19:43lo aumentó más componentes si yo en
19:45lugar de usar 10 que en este caso se
19:47diese utilizo 30 ya se define un poquito
19:52mejor
19:52quizás el pulso que tengo yo aquí sume
19:55en esta sumatoria la hice desde 1 hasta
19:59en igual a 30 y el resultado es esta
20:02señal que tengo aquí ya un poquito más
20:05definido el pulso 4 pero aún así no
20:07tanto el pulso cuadrado tiene una
20:10peculiaridad que está vamos a ver con n
20:13igual a 100 100 componentes vean ya se
20:17define un poquito más pero sigue
20:18teniendo ciertos piquitos aquí
20:22para yo poder generar el seno más bien
20:25el pulso cuadrado necesito muchísimas
20:27componentes en un pulso cuadrado ya
20:30luego veremos que sus repercusiones que
20:32esto tiene las comunicaciones digitales
20:34recuerden que comunicaciones digitales
20:36son unos y ser los pulsos cuadrados como
20:38éste y con todas las componentes que se
20:40tienen es que hay ciertas distorsiones
20:43en esta parte en la forma la forma que
20:47debería de tener y la forma que en
20:50realidad tiene cuando en este caso son
20:52100 componentes 100 términos y todos
20:55sumados uno con respecto a los por
20:57ejemplo en el caso es
21:00de la otra
21:02en el caso de la señal triangular en
21:05este caso igual saqué los primeros 10
21:09componentes de la función triangular y
21:11son estas que tengo yo aquí son las
21:13disfunciones vean obviamente cambia la
21:16amplitud pero también está cambiando la
21:18frecuencia lo mismo cambio aquí
21:22se ve luego luego la amplitud son
21:24diferentes de las ciudades pero también
21:26está cambiando la frecuencia lo mismo
21:29aquí la amplitud de está cambiando
21:31quizás nunca manera tener ruta cómo
21:33hacer acto pero también está variando la
21:36frecuencia sumo estás la suma entre sí
21:39que en este caso igual saqué 10 nada más
21:42como las primeras 10 y vean que ya se me
21:44define más o menos un triangulito como
21:47el que tenía yo aquí ya se parece un
21:49poquito más a esta quizás con ciertas
21:53hasta aquí un poco al lado los picos
21:56pero se ve bastante bien la función
22:01triangular con 10 componentes ya lo
22:03tengo bien más o menos bien definido con
22:06más componentes con 30 y consciente lo
22:09que tengo aquí primero con 30 y ya se
22:11define ya
22:13y realmente así a simple vista no no se
22:16ve que ya estoy atado sino que ya
22:18simplemente es la función triangular y
22:20pues consciente realmente entre 100 y 30
22:24a simple vista no hay ninguna diferencia
22:26con 30 componentes ya puedo generar vean
22:29la enorme diferencia a lo que pasa con
22:33la trémula y consciente realmente aún
22:36nos consigo todavía generar esto que se
22:40totalmente
22:42plano como yo desearía tienes tus
22:44piquitos aquí y que realmente está un
22:47poco complejo hacerlos desaparecer
22:50tiene un montón de términos pero les
22:53digo va a tener repercusiones en las
22:55comunicaciones digitales el número de
22:57componentes que se necesitan pero
22:59entonces bueno por lo mientras ahorita
23:02aquí le dejamos y nos vamos

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